DC-DCコンバータの周波数特性測定【\(G_{\rm vd}\)編】
（非絶縁）降圧型DC-DCコンバータにおけるプラントの伝達関数\( G_{\rm vd}(s)\)のFRAを測定した．
回路定数は，
\(V_{\rm i} = 12\ {\rm V}\)，\(F_{\rm m} = 0.2\)，\(f_{\rm s} = 100\ {\rm kHz}\)，\(L=78.42\ {\rm \mu H}\)，\(r_{L} = 260\ {\rm m \Omega}\)(実測値），\(C=180.47\ {\rm \mu F}\)，\(r_{C} = 100\ {\rm m\Omega}\)（\(C\)は理論値，\(r_{C}\)は推定値）
※キャパシタは180uFの電解コンと0.47uFのフィルムコンをパラ使いしている．
なかなかいい特性が取れたと思う．直流利得\( 20\log K\)がおおよそ7.7 dB，共振周波数\(f_{\rm n}\)が1.35 kHz．
理論値では，
$$K = F_{\rm m}V_{\rm i} = 12/5 = 2.4 \rightarrow 20\log K = 7.60\ {\rm dB}$$，
$$f_{\rm n} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{78.42\times 10^{-6}\cdot 180.47\times 10^{-6}}}=1.34\ {\rm kHz}$$
まぁいいでしょう．共振周波数のズレは，ほぼほぼないから，キャパシタンスはほぼほぼ理論通りですよと．
で，直流利得の計算方法がもう一個ある．
注入信号が0.2 Vに対して，\(F_{\rm m}\)は1/5だから，この成分のデューティ比は，0.2/5=0.04．
主回路入力電圧が12 Vなので，12*0.04=0.48さらに，今度は\(F_{\rm m}\)で除して，0.48*5=2.4となる．これが直流ゲイン\(K\)と一致する．
問題は，ゲインピークで，FRAデータからは，14.88dBと読める．
一方理論値は，
$$\delta = \frac{r_{\rm L}+r_{\rm C}}{2} \sqrt{\frac{C}{L}} = 0.273$$
で，このときの利得は，
$$20\log|G_{\rm vd}(j\omega_{\rm n})|+20\log K = 20\log\left( \frac{V_{\rm i}}{2\delta} \right) -20\log F_{\rm m} = 12.88\ {\rm dB}$$
実測値のほうが高くなってしまう．
これは，想定していたよりも寄生抵抗が小さいってことやな．
どのぐらい小さいかっていうと，\(r_{\rm L}\)は実測データやから正しいとして，\(r_{\rm C}\)がずれていたと考えると，FRAデータからは，25mΩが正確な値であると計算できる．そんなに小さいんか...？
というわけで，\(r_{\rm C} = 25\ {\rm m\Omega}\)として，\(\omega_{\rm esr}\)を考察する．
理論値では，
$$\omega_{\rm esr} = \frac{1}{Cr_{C}} = 221,643\ {\rm rad/sec} \rightarrow f_{\rm esr} = 35.3\ {\rm kHz}$$
ここで，このときの利得は，
$$G_{\rm vd}(j\omega_{\rm esr}) = \dfrac{V_{\rm i}}{1-{\left( \dfrac{\omega_{\rm esr}}{\omega_{\rm n}}\right)}^2+j2\dfrac{\omega_{\rm esr}}{\omega_{\rm n}}\delta}\left( 1 + j \right)=0.0245$$
$$20\log |G_{\rm vd}(j\omega_{\rm esr})| -20\log F_{\rm m}= -46.20\ {\rm dB}$$
う～ん，FRAと一致しない．
以下，調整した結果のScilabボード線図
ただし，\(L = 78.42\ {\rm \mu H}\)，\(C = 170\ {\rm \mu F}\)，\(r_{L} = 75\ {\rm m\Omega}\)，\(r_{C} = 250\ {\rm m\Omega}\)に修正．
また，条件を下記のように再設定し実験：
\(V_{\rm i} = 60\ {\rm V}\)、\(F_{\rm m} = 0.25\)、\(f_{\rm s} = 100\ {\rm kHz}\)、\(L=78.42\ {\rm \mu H}, r_{\rm L} = 75\ {\rm m \Omega}\)(実測値）、\(C=180.47\ {\rm \mu F}\)、\(r_{\rm C} = 250\ {\rm m\Omega}\)(\(C\)は理論値，\(r_{C}\)は推定値）\(D = 0.75\)
※\(F_{\rm m}\)の変更理由：コンパレータがフルスイングできなかったため
FRA設定注入信号\(V_{\rm p-p} = 50\ {\rm mV}\)、バイアス \(V_{\rm dc} = 3\ {\rm V}\)、開始周波数\(f_{\rm s} = 100\ {\rm Hz}\)、終了周波数 \(f_{\rm e} = 100\ {\rm kHz}\)、スイープ方向：UP、積分回数10サイクル、遅延時間10サイクル、イコライザ機能有効
実機測定値：
| 周波数(kHz) | ゲイン(dB) | 位相(deg.) | |
| DC利得 | 0.1 | 23.541 | -1.004 |
| ゲインピーク | 1.299 | 29.784 | -59.879 |
| 位相ボトム | 3.047 | 13.088 | -132.568 |
| 周波数(kHz) | ゲイン(dB) | 位相(deg.) | |
| DC利得 | 0.1 | 23.57 | - |
| ゲインピーク | 1.26 | 30.46 | -56.62 |
| 位相ボトム | 2.7 | 15.33 | -124.6 |
考察
DC利得
測定値から換算すると，\(20\log K_{\rm dc} = 23.541\ {\rm dB}\)なので，\(K_{\rm dc} = 10^{\frac{23.541}{20}} = 15.033\)
Scilabから換算すると，\(20\log K_{\rm dc} = 23.57\ {\rm dB}\)なので，\(K_{\rm dc} = 10^{\frac{23.541}{20}} = 15.083\)
理論値では，\(K = F_{\rm m}V_{\rm i} = 15\)
ゲインピーク
実機実測値は\(f_{\rm r} = 1.299\ {\rm kHz}\)
Scilab測定値は\(f_{\rm r} = 1.268\ {\rm kHz}\)
共振周波数の理論値は，
$$f_{\rm r} = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} = 1.337\ {\rm kHz}$$
減衰係数は，実測値からの換算だと，
$$20\log\left( \frac{1}{2\delta} \right) +20\log K_{\rm dc} = 29.784\ {\rm dB}$$
$$-\log 2\delta = 0.3167$$
なので，\(\delta = 0.2411\)
Scilab測定値から換算すると，
$$20\log\left( \frac{1}{2\delta} \right) +20\log K_{\rm dc} = 30.46\ {\rm dB}$$
$$ -\log 2\delta = 0.3445$$
なので，\(\delta = 0.2262\)
理論値では，
$$\delta = \frac{r_{\rm L} + r_{\rm C}}{2}\sqrt{\dfrac{C}{L}}= 0.2465$$
さて，コンデンサのESRによる一次進み要素の変曲点周波数\(f_{\rm esr}\)は，実測値は，計測ができない．-135deg.のところを\(f_{\rm esr}\)としたいが，そのような点は見つからない．
したがって，実機とScilabとではボード線図の位相ボトムで比較し，理論値とScilabとでは計算値で比較する．
位相ボトム点は上の表で示したとおりである．
Scilabで算出された伝達凾数から計算すると，\(f_{\rm esr} = 3.528\ {\rm kHz}\)，理論値によると，
$$f_{\rm esr} = \frac{1}{2\pi C r_{\rm C}} = 3.527\ {\rm kHz}$$
ESRの評価は，ESRの周波数依存性が大きく，計算や考察が面倒なので今回は一旦ここまでにする．
