【解析力学】汎関数問題について
汎関数は,
$$F = \int_a^b f(x,y,y')dx$$
で定義される\(F\)のことをいう.汎関数は物理,特に力学に関する問題を解くのに有益で,例えば最速降下曲線問題に有効である.
一方で,汎関数問題は,解析力学を学ぶ上でつまずくポイントでもあるので,雑多ながらまとめておく.
まず,汎関数の性質について解説する前に,汎関数が必要になる例を紹介する.
汎関数問題の例
汎関数問題は力学において以下の例がある:
- 最速降下曲線
- 懸垂線
最速降下曲線
ある地点\(a\)から\(b\)までの距離を,高さ\(B\)まで重力に従って最短の時間で下れるような曲線を,最速降下曲線という.
ここでひとまず,地点\(x\)における高さを\(y(x)\)とし,2点間を曲線が結ぶ距離を\(L(y)\)とすると,線積分の定義から,
$$L(y) = \int_a^b\sqrt{1+y'(x)^2}dx$$
で表される.
さて,エネルギー保存則より,運動エネルギーと位置エネルギーは等しいことから,速度を\(v\),移動する物質の質量を\(m\)としたとき,
$$\frac{1}{2}mv^2 = mgy(x)$$
なので,
$$v = \sqrt{2gy(x)}$$
となる.
したがって,2点間を移動する時間\(T(y)\)は,
$$T(y) = \int_a^b \sqrt{\frac{1+y'(x)^2}{2gy(x)}}dx$$
となる.
この\(T\)を最小にするような\(y\)を選ぶことで,最速降下曲線がわかる.
懸垂線
同じ高さの電柱があり,それぞれの頂上にくくりつけた曲線を考える.この曲線は重力により,垂直方向に弛むことから,懸垂線と呼ばれる.
両端の高さを\(h\),ひもの長さを\(l\),ひもの単位長さ当たりの質量を\(m\)とする.ここで,地点\(x\)における高さを\(y(x)\)としたとき,つぎの汎関数\(U\)を考える.
$$U(y) = \int_a^b \left( m\sqrt{1+y'(x)^2} \right)gy(x)dx$$
これは,曲線の位置エネルギーの総和を考えていることになる.物質は重力により,常に位置エネルギーを最小にする方向に移動するため,この汎関数\(U\)を最小にするような\(y\)について,$$y(a)=y(b)=h$$のもとで解析すると,懸垂線がどのような曲線であるかがわかる.
上記のような例は,解析したい方程式を立てることはできたが,問題自体を解くことはテクニックが必要である.そこで,以下のように,これらの問題をまず一般化して,汎関数問題を解くためのEuler=Lagrange方程式を導出する.
変分問題の一般化
$$F(y) = \int_a^b f(x,y,y')dx$$
の\(f\)を,被積分関数と呼ぶ.被積分関数\(f\)は以後,\(f\lbrack y(x)\rbrack\)として記述する.\(x\)と\(y\)があたえられているため,\(y'\)はカッコ内に記述しなくても自ずと与えられる.
したがって,
$$F(y) = \int_a^b f\lbrack y(x) \rbrack dx$$
となる.
微分について考えるときに定義した変化量のように,汎関数の変分問題でも,関数の変化量を定義する.
関数の変化量についての定義
「関数\(y(x)\)を少し変化させる」とは,ごく微小な量\(\varepsilon\)とある任意の関数\(\xi(x)\)に対して,
$$y(x) + \varepsilon \xi(x)$$
とすることである.
さて,汎関数\(F\)は,
$$F(y) = \int_a^b f(x,y,y')dx$$
であったが,\(y \rightarrow y+\varepsilon \xi \)としたとき,
$$F(y) = \int_a^b f(x,y+\varepsilon \xi, y'+\varepsilon \xi ')dx$$
となる.ここで,\(\varepsilon\)について展開したとき,2次以降を無視すると,
$$F(y) = \int_a^b \left( f + \frac{\partial f}{\partial y}\varepsilon \xi + \frac{\partial f}{\partial y'}\varepsilon \xi ' \right)dx$$
と近似できる.
第3項の積分を考える.\(\xi (a) = \xi (b) = 0\)であることに気をつけると,
$$\int_a^b \frac{\partial f}{\partial y'} \varepsilon \xi 'dx = \left\lbrack \frac{\partial f}{\partial y'}\varepsilon \xi \right\rbrack_a^b - \int_a^b \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y'}\varepsilon \xi dx = - \int_a^b \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y'}\varepsilon \xi dx$$
したがって,
$$F(y+\varepsilon \xi ) = \int_a^b \left( f + \frac{\partial f}{\partial y}\varepsilon \xi - \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y'}\varepsilon \xi \right)dx$$
と変形できる.
変分法のゴールは,汎関数の極値を調べることである.先の例では,極値を調べることで,最小値がわかるので,変分法の目的と合致する.
$$F(y) - F(y+\varepsilon \xi ) = 0$$
とすることである.これには,
$$\int_a^b \left(\frac{\partial f}{\partial y}\varepsilon \xi - \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y'}\varepsilon \xi \right)dx = 0$$
が条件であることがわかる.これが常に成り立つには,
$$\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y'} = 0$$
が成り立てば良い.
これが,Euler=Lagrange方程式である.
では,これを用いて最速降下曲線を求めてみよう.
最速降下曲線問題で調べたい汎関数は,
$$T(y) = \int_a^b \sqrt{\frac{1+y'(x)^2}{2gy(x)}}dx = \int_a^b f(x,y,y')dx$$
であった.これが,停留値を取るためには,EL方程式に当てはめればよいが,\(f\)は\(x\)が陽に含まれていないため,合成微分を適用し,
$$\frac{\partial}{\partial x}\left( f(y,y') -y'\frac{\partial f}{\partial y'}(y,y') \right) = \frac{\partial y}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y'}\right).$$
EL方程式より,定数\(c\)を用いて,
$$f - y'\frac{\partial f}{\partial y'} = c$$
が成り立つので,後はこれを解くだけで導出できる.
次回は,このEL方程式を基礎方程式とした,Lagrange力学について解説する.